초등수학 전문가의 제언... 두번째

마지막으로 반복학습의 중요성에 대해서 얘기해 보겠습니다.

대부분의 아이들은 풀리지 않던 어려운 문제를 선생님이 명쾌하게 설명해 주시면 감탄을 하며 고개를 끄덕였지만 막상 스스로 문제를 풀려고 문제집을 보는 순간 머리가 하얗게 되는 경험을 한 기억이 있을 것입니다. 수학은 몇 문제를 풀었냐는 양의 문제가 아니라 잘 모르는 문제, 틀린 문제를 지혜롭게 반복을 통하여 완벽하게 이해하는 질적인 공부법을 택해야 합니다.

보통 새로운 단원을 공부할 때, 개념서를 보면서 선생님이 그 단원의 개념을 설명해 주시면 듣고 그 후 개념서 안에 있는 예제, 유제 등을 풀면서 그 개념과 해당하는 기본문제들을 익힙니다. 이때 이러한 문제를 한 번 풀고 다 이해하는 학생은 많지 않습니다. 설명을 들었으니 안다고 생각하고 바로 다음 단계의 응용문제들을 풀면서 ‘난 수학적 센스가 없나 봐, 어라! 왜 이렇게 모르겠지?’라고 좌절하면서 자책합니다. 심한 경우 난 수학엔 재능이 없다면서 수동적으로 시키는 것만 하면서 수학과 거리감을 두게 됩니다.

“수학 어떻게 공부했어요?“라고 주변의 잘 나가는 수학 전공 강사에게 물었을 때 ‘전 수학천재에요‘라고 답하는 선생님은 없었습니다. “「수학의 정석」을 3~4번에서 많게는 6~7번까지 풀 정도로 반복적으로 문제를 풀었어요.수학은 틀린 문제를 또 틀리게 되는 경우가 많아요. 맞은 문제도 다시 풀면 더 빠르고 명확한 풀이가 나오는 경우가 많기 때문에 반복 학습이 아주 중요다고 생각해요.”라며 ‘반복학습’의 중요성을 이구동성으로 얘기합니다.   

안타깝게도 우리 아이들은 똑같은 문제를 몇 번 이상 푼다는 게 아주 지겨운 과정으로 느껴져 반복학습을 시도조차 안 하고 포기해 버린다는 점입니다. 이러한 반복학습은 몸에 배지 않으면 실천하기 어려운 방법입니다. 수능 수리영역이든 내신 수학 시험이든지 수학 시험에 나오는 문제들 중에서 수학을 어렵게 만드는 주범은 응용문제라고 부르는 여러 가지 개념이 함께 어우러져 나오는 꼬아놓은 문제입니다.

몇 번을 읽어봐도 문제가 요구하는 게 무엇인지 떠오르지 않고 어떤 방식으로 접근해야 하는지, 어떤 원리와 공식이 필요한지 감이 오지 않는 문제들입니다. 이러한 문제들을 정복하는 데 있어서 가장 중요한 것은 무엇일까요?   

그렇습니다. 위에서 언급한 대로 수학의 고수들이 중요하다고 말한 반복학습입니다. 새로운 문제를 푸는 것보다는 같은 문제, 혹은 같은 문제집을 여러 번 보는 것이 꼬아놓은 문제, 응용력을 요구하는 어려운 문제를 공부하는 것보다 효과적인 경우가 많습니다. 3X1 보다 1X3이 더 좋다! 즉 3권의 문제집을 1번 푸는 것보다 1권의 문제집을 3번 보는 게 훨씬 효과적이라는 것입니다.

그렇다면 과연 어떻게 반복적으로 수학 공부를 할까요?

전 여기서 채점의 중요성을 먼저 언급하고자 합니다. 아이들이 문제집을 채점할 때에 동그라미 숫자에 연연하다 보니 본인이 확실히 알고 푼 문제가 아니어도 동그라미, 찍어서 맞은 문제도 동그라미 심지어 해설집을 보고 푼 문제조차도 동그라미를 치는 것을 보았습니다.

얼마 전 제가 가르치고 있는 학생들이 심화문제집을 풀어 와서 질문을 하는데 한 학생은 10문제를 다른 학생은 2문제를 질문했습니다. 그 후 시험을 치른 결과는 10문제를 질문한 학생이 1등을 하고 2문제를 질문 헸던 학생은 꼴찌를 했다는 것입니다. 이유를 알아보니 2문제를 질문한 학생은 모르는 문제를 해설지를 보고 풀면서 ‘아 그거였지’ 하고 푼 후에 맞다고 채점을 한 것입니다.

틀렸던 수학 문제, 또 틀리지 않기 위해서는 어떻게 해야 할까요? 틀린 문제를 내 것이 되게 하는 것이 바로 문제집을 푸는 주목적입니다. 문제를 풀고 제대로 채점하고 틀린 문제를 다시 풀어보고, 이러한 반복학습을 통해 실력을 키우는 것입니다. 문제를 풀다가 기억이 날듯 말 듯 한 부분을 만나는 경우가 있습니다. 이 경우 바로 답지를 보거나 설명을 듣기보단 그 문제에 별표를 하고 나머지 문제들을 다 푼 후에 여유를 가지고 다시 한 번 고민해봐야 합니다. 

이전에 본 듯한 유형인지 찾아보고, 기본문제 몇 가지가 종합적으로 합해서 나온 것인지 고민해봐야 합니다. 최소 3번 정도는 고민해보고 그래도 못 풀거나 틀린 문제는 해설지를 보고서라도 제대로 풀이 과정을 차근차근 써보고 관련 개념과 원리, 공식을 다시 찾아서 공부합니다. 시간이 조금 걸리더라도 이러한 식으로 같은 문제를 여러 번 반복하여 공부하면서 수학 문제에 대한 응용력이 생길 수 있습니다. 

어려운 문제를 어떤 방식으로 접근하고 그 문제에 적용되는 개념은 무엇인지 파악할 수 있는 수학적 감각이 생길 수 있습니다.끝으로 중요하게 언급하고 싶은 것은 반복학습을 하면서 다양한 풀이 방법을 생각해보는 것입니다.   

예를 들어보겠습니다. 

다음 문제를 풀 때에 처음 이 문제를 접하고 잘 모르는 학생들에게는수를 줄여서 단순화해서 계산한 후에 규칙을 가지고 추론하는 [풀이1]으로 설명해 줍니다.

그 후 어느 정도 감을 잡으면 다음 설명에서는 [풀이2]를 알려 주고 마지막으로는 [풀이3]으로 설명해 줍니다. 

어느 정도 수학적 감이 있는 학생들에게는 [풀이1]은 생략하고 바로 [풀이2]부터 알려줍니다.   

(문제) 1부터 1000까지의 수를 차례로 모두 쓰면, 숫자 9는 몇 번 쓰게 되는지 구하여라.

[풀이1] 잘 이해 못하는 학생들은 단순화하여 숫자 100까지 사용된 9의 개수를 직접 세어보게 합니다. 그 후 규칙을 설명해 주고 추론하도록 도와주고 이해시킵니다.  

[풀이2] 일의 자리, 십의 자리, 백의 자리에 쓰인 숫자 9의 개수로 분류해 각각 세어보게 합니다.

[풀이3] 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9가 골고루 사용되게 하려면 000, 001, 002, 003, 004, …, 997, 998, 999로 고쳐서 생각하게 됩니다.

수는 000~999까지 1000개이고, 각 수마다 3개의 숫자가 사용되었으므로 모두 1000 X 3 = 3000개의 숫자가 쓰였습니다. 여기서 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9가 사용된 횟수가 모두 같아지므로 숫자 0은 3000 ÷ 10 =300번 쓰였습니다.이 글을 읽는 학생들에게 당부합니다.

 

대다수 학생들이 틀린 문제를 오답하거나 선생님께 설명을 들은 뒤 문제를 다시 안 풀고 답만 얻어 가는 경우가 많은데 궁금하거나 애매한 부분이 있다면 절대 넘어가지 않고 친구나 선생님을 찾아가 완벽히 알 때까지 질문을 해야 합니다. 직접 다시 풀어서 정답을 스스로 얻을 때까지가 진짜 자기가 그 문제를 제대로 이해한 것입니다. 

이렇게 반복학습을 하다 보면 수학 실력은 절로 향상될 것입니다. 대충 아는 10문제, 100문제보다는 100% 아는 한 문제가 나의 수학 실력을 높여주고 실제로 점수를 올려줍니다.   많은 것을 얕게 공부하기보다는 하나라도 완벽하게 배우는, 즉 ‘끊임없는 반복학습’을 통해 ‘완벽한 학습’을 해내기를 추천합니다.  

감사합니다.